Álgebra de Boole
Fundamentos matemáticos para sistemas digitales
Operaciones Básicas
AND (Producto Lógico)
F = A · B
| A | B | Salida |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
AND
Compuerta AND
OR (Suma Lógica)
F = A + B
| A | B | Salida |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
OR
Compuerta OR
NOT (Complemento)
F = A’ o F = Ā
| A | Salida |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
NOT
Compuerta NOT/Inversor
Propiedades Fundamentales
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Conmutativa | A + B = B + A A · B = B · A |
| Asociativa | (A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C) |
| Distributiva | A · (B + C) = (A · B) + (A · C) A + (B · C) = (A + B) · (A + C) |
| Identidad | A + 0 = A A · 1 = A |
| Complemento | A + Ā = 1 A · Ā = 0 |
| Idempotencia | A + A = A A · A = A |
| Elemento Nulo | A + 1 = 1 A · 0 = 0 |
| Involución | Ā = A |
Teoremas Clave (Leyes de Boole)
Absorción
A + (A · B) = A
A · (A + B) = A
Un término absorbe a otro en la expresión.
De Morgan (Corregido)
A + B = Ā · B̄
A · B = Ā + B̄
La negación de una suma es el producto de las negaciones y viceversa.
Consenso
A·B + Ā·C + B·C = A·B + Ā·C
Eliminación de términos redundantes en expresiones booleanas.
Ejemplos de Simplificación
Ejemplo 1: Simplificar Y = A + Ā · B
Y = A + Ā · B
Paso 1: Aplicar propiedad distributiva: A + Ā·B = (A + Ā)·(A + B)
Paso 2: Aplicar complemento: (A + Ā) = 1
Paso 3: Resultado: 1 · (A + B) = A + B
Resultado: Y = A + B
Ejemplo 2: Simplificar Y = A·B + A·B̄
Y = A·B + A·B̄
Paso 1: Factorizar A: Y = A·(B + B̄)
Paso 2: Aplicar complemento: B + B̄ = 1
Paso 3: Resultado: Y = A·1 = A
Resultado: Y = A
Ejemplo 3: Aplicar De Morgan: A · B + C
F = A · B + C
Paso 1: Aplicar De Morgan a la expresión completa: F = A · B · C
Paso 2: Aplicar De Morgan a A · B: F = (Ā + B̄) · C̄
Resultado: F = (Ā + B̄) · C̄
Funciones Booleanas y Tablas de Verdad
Una función booleana se define como una expresión que relaciona variables binarias con operadores lógicos.
F(A, B, C) = A · B̄ + C
Tabla de Verdad
| A | B | C | B̄ | A·B̄ | F = A·B̄ + C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Importancia en Sistemas Digitales
- Simplificación de circuitos: Reducir el número de compuertas lógicas mediante álgebra de Boole, disminuyendo costos y complejidad.
- Diseño eficiente: Crear circuitos más rápidos, con menor consumo de energía y menor espacio físico.
- Análisis de comportamientos: Predecir las salidas de circuitos complejos antes de su implementación física.
- Síntesis de circuitos: Convertir especificaciones en implementaciones de hardware.
- Detección de errores: Identificar condiciones no deseadas o conflictos en el diseño.